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； （本题12分）结论:在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=
， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学做了如图2所示的辅助线：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形，连接PP′，从而问题得到解决．你能说说其中的理由吗？
请你参考李明同学的思路，解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=
，BP=
，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
（本题12分）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m–4）2+n2–8n=–16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．
（1）求A点的坐标．
（2）若OF+BE=AB，求证：CF=CE．
（3）如图（2），若∠ECF=45°，给出两个结论：OF+AE–EF的值不变；OF+AE+EF的值不变．其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．
（本题10分）如图，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足
，直线OQ与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长．
（本题10分） 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
（本题10分）阅读材料：小明在学习实数后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2
＝（1＋）
，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝（m＋n）（其中a、b、m、n均为正整数），
则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，∴a＝ m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b
＝（m＋n），用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ， b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： ＋ ＝（ ＋ ）；
（3）若a＋4＝（m＋n），且a、m、n均为正整数，求a的值．
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