如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

（1）求证：DF·DE＝CE·CB;
（2）若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.

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乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶 $D$ 处观测乙居民楼楼底 $B$ 处的俯角是 $30 °$ ，观测乙居民楼楼顶 $C$ 处的仰角为 $15 °$ ，已知甲居民楼的高为 $10 m$ ，求乙居民楼的高．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到 $0.1 m)$

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	平均数	中位数	众数	方差
甲	175	$a$	$b$	93.75
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（1）求 $a$ 、 $b$ 的值；

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（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．

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如图，直线 $y = - \frac{3}{2} x + 6$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，点 $P$ 为线段 $AB$ 的中点，点 $Q$ 是线段 $OA$ 上一动点（不与点 $O$ 、 $A$ 重合）．

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（2）连接 $PQ$ ，在第一象限内将 $ΔOPQ$ 沿 $PQ$ 翻折得到 $ΔEPQ$ ，点 $O$ 的对应点为点 $E$ ．若 $∠ OQE = 90 °$ ，求线段 $AQ$ 的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x + a^{3} + a + 1 (a \neq 0)$ 的顶点为点 $C$ ．

①若点 $C$ 在 $ΔPQE$ 内部（不包括边），求 $a$ 的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点 $C$ ，使 $| CQ - CE |$ 最大？若存在，请直接写出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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