某工厂现有甲种原料380千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A，B两种产品共50件，已知生产1件A种产品需甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产1件B种产品需甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元，设工厂生产A，B两种产品可获总利润是y元，其中甲种产品的生产件数是x，
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何安排A，B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值。
某学生化简分式 出现了错误，解答过程如下：
原式 （第一步）
（第二步）
．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
定义：对于给定的两个函数，任取自变量 的一个值，当 时，它们对应的函数值互为相反数；当 时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数 ，它的相关函数为 ．
（1）已知点 在一次函数 的相关函数的图象上，求 的值；
（2）已知二次函数 ．①当点 在这个函数的相关函数的图象上时，求 的值；
②当 时，求函数 的相关函数的最大值和最小值；
（3）在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，连结 ．直接写出线段 与二次函数 的相关函数的图象有两个公共点时 的取值范围．
如图①，在 中， ， ， ，点 从点 出发，沿折线 向终点 运动，在 上以每秒5个单位长度的速度运动，在 上以每秒3个单位长度的速度运动，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位长度的速度运动， ， 两点同时出发，当点 停止时，点 也随之停止．设点 运动的时间为 秒．
（1）求线段 的长；（用含 的代数式表示）
（2）连结 ，当 与 的一边平行时，求 的值；
（3）如图②，过点 作 于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，点 为 的中点，连结 ．设矩形 与 重叠部分图形的面积为 ．①当点 在线段 上运动时，求 与 之间的函数关系式；②直接写出 将矩形 分成两部分的面积比为 时 的值．
【再现】如图①，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，可以得到： ，且 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形 中，点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，判断四边形 的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形 中，满足什么条件时，四边形 是菱形？你添加的条件是： ．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形 中，点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，对角线 ， 相交于点 ．若 ，四边形 面积为5，则阴影部分图形的面积和为 ．
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