数列 $\left\{a_n\right\}$足： $a_1+2a_2+\dots +n{a}_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}},n\in N^{+}$．
（1）求 $a_3$的值；
（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$；
（3）令 $b_1=a_1,b_n=\frac{T_n-1}{n}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}\right)a_n\left(n\ge 2\right)$，证明：数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$满足 $S_n<2+2\ln n$．