已知函数 f ( x ) = x 3 + a x 2 + b ( a , b ∈ R ) . (1)试讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 b = c - a (实数 c 是 a 与无关的常数),当函数 f ( x ) 有三个不同的零点时, a 的取值范围恰好是 ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( 1 , 3 2 ) ∪ ( 3 2 , + ∞ ) ,求 c 的值.
(本小题满分13分)已知是公差为的等差数列,,与的等差中项为. (1)求与的值; (2)设,求数列的前项和.
(本小题满分14分)如图,直角梯形,,,,点为的中点,将沿折起,使折起后的平面与平面垂直(如图).在下图所示的几何体中: (1)求证:平面; (2)点在棱上,且满足平面,求几何体的体积.
(本小题满分13分)从某企业生产的某种产品中抽取20件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量得到如图的频率分布直方图,从左到右各组的频数依次记为,,,,. (1)求图中的值; (2)下图是统计图中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果; (3)从质量指标值分布在、的产品中随机抽取2件产品,求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率.
(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为,,是常数. (1)求的值; (2)若,,求.
(本小题满分14分)设函数,是自然对数的底数,,为常数. (1)若在处的切线的斜率为,求的值; (2)在(1)的条件下,证明切线与曲线在区间至少有1个公共点; (3)若是的一个单调区间,求的取值范围.