如图,在三棱锥 A B C - A 1 B 1 C 1 中, ∠ A B C = 90 ° , A B = A C = 2 , A A 1 = 4 , A 1 在底面 A B C 的射影为 B C 的中点, D 为 B 1 C 1
(1)证明: A 1 D ⊥ 平面 A 1 B C ; (2)求直线 A 1 B 和平面 B B 1 C C 1 所成的角的正弦值.
(本小题满分13分)如图,焦距为的椭圆的两个顶点分别为和,且与n,共线.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若直线与椭圆有两个不同的交点和,且原点总在以为直径的圆的内部,求实数的取值范围.
(本小题满分13分)如图,在四棱锥中,底面是等腰梯形, ∥,,,为的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)若(ⅰ)求证平面平面;(ⅱ)求直线与底面成角的正弦值.
设函数.(Ⅰ)证明:当时,;(Ⅱ)设当时,,求实数的取值范围.
已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为,左右顶点分别为,.经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于、两点.(Ⅰ)求椭圆标准方程;(Ⅱ)记与的面积分别为和,且,求直线的方程;(Ⅲ)若是椭圆上的两动点,且满足,动点满足(其中为坐标原点),求动点的轨迹方程.
已知正项数列,满足:对任意正整数,都有,,成等差数列,,,成等比数列,且,. (Ⅰ)求证:数列是等差数列; (Ⅱ)求数列,的通项公式; (Ⅲ)设=++…+,如果对任意的正整数,不等式恒成立,求实数的取值范围.