已知数列 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$满足， $a_1=2,b_1=1,a_{n+1}=2a_n\left(n\in N^{+}\right)$

$b_1+\frac{1}{2}{b}_2+\frac{1}{3}{b}_3+\dots +\frac{1}{n}{b}_n=b_{n+1}-1\left(n\in N^{+}\right)$.
（1）求 $a_n$与 $b_n$；
（2）记数列 $\left\{a_n{b}_n\right\}$的前 $n$项和为 $T_n$，求 $T_n$.