高一某班共有学生人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元。若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其它费用元,其中,纯净水的销售价(元桶)与年购买总量(桶)之间满足如图直线所示关系.(1)求关于的函数关系式,并写出函数的定义域;(2)若该班每年需要纯净水桶,请你根据提供的信息比较,该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪一个更少?说明你的理由.
(本小题满分10分) 当时,,. (Ⅰ)求,,,; (Ⅱ)猜想与的大小关系,并用数学归纳法证明.
(本小题满分15分) 已知函数 (Ⅰ)求函数的极值; (Ⅱ)对于曲线上的不同两点,如果存在曲线上的点,且,使得曲线在点处的切线∥,则称为弦的伴随切线。特别地,当,时,又称为的λ——伴随切线。 (ⅰ)求证:曲线的任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的; (ⅱ)是否存在曲线C,使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线?若存在,给出一条这样的曲线 ,并证明你的结论; 若不存在 ,说明理由。
(本题满分15分) 已知各项均为正数的数列中,数列的前项和满足. (1)求; (2)由(1)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.
(本题满分14分) 一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球. (1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种? (2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取4个球,使总分不少于7分的取法有多少种?
(本小题满分14分) 求函数在区间上的最大值和最小值.