已知函数 $f\left(x\right)=-2(x+a)\ln x+x^2-2ax-2a^2+a$，其中 $a>0$.
（1）设 $g\left(x\right)$是 $f\left(x\right)$的导函数，评论 $g\left(x\right)$的单调性；
（2）证明：存在 $a\in (0,1)$，使得 $f\left(x\right)\ge 0$在区间 $(1,+\infty )$内恒成立，且 $f\left(x\right)=0$在 $(1,+\infty )$内有唯一解.