已知椭圆x22y21，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 、 $D$ ，设 $△ A O C$ 的面积为 $S$ .
（1）设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $C (x_{1}, y_{1})$ ，用 $A$ 、 $C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S = 2 |x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|$ ；
（2）设 $l_{1 : y = k x}$ ， $C (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ， $S = \frac{1}{3}$ ，求 $k$ 的值；
（3）设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $m$ ，求 $m$ 的值，使得无论 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 如何变动，面积 $S$ 保持不变.

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