抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与
双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为，求抛物线的方程和双曲线的方程.

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设 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 是两个等差数列，记 $c_{n} = \max {b_{1} ﹣ a_{1} n ， b_{2} ﹣ a_{2} n ， \dots ， b_{n} ﹣ a_{n} n} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ ，其中 $\max {x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{s}}$ 表示 $x_{1} ， x_{2} ，$ ， …， $x_{s}$ 这s个数中最大的数．

（1）若 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = 2 n ﹣ 1$ ，求 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ 的值，并证明{c_n}是等差数列；

（2）证明：或者对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geq m$ 时， $\frac{c_{n}}{n} ＞ M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m}$ ， $c_{m + 1}$ ， $c_{m + 2}$ ， …是等差数列．

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = e^{x} cosx ﹣ x$ ．

（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（2）求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

题型：未知
难度：未知

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已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 px$ 过点 $P (1 ， 1)$ ．过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段BM的中点．

题型：未知
难度：未知

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为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各 $50$ 名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标 $x$ 和 $y$ 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．

（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标 $y$ 的值小于 $60$ 的概率；

（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记 $ξ$ 为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E （ ξ ）$ ；

（3）试判断这100名患者中服药者指标 $y$ 数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）

题型：未知
难度：未知

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如图，在四棱锥 $P ﹣ ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，平面 $PAD ⊥$ 平面 $ABCD$ ，点M在线段PB上， $PD ∥$ 平面 $MAC$ ， $PA = PD = \sqrt{6}$ ， $AB = 4$ ．

（1）求证：M为PB的中点；

（2）求二面角 $B ﹣ PD ﹣ A$ 的大小；

（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

题型：未知
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