如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面是边长为2的正三角形， $E,F$ 分别是 $BC,C{C}_1$ 的中点。

（Ⅰ）证明：平面 $AEF\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$ ；
（Ⅱ）若直线 $A_{1}C$ 与平面 $A_{1}AB{B}_1$ 所成的角为 $45°$ ，求三棱锥 $F-AEC$ 的体积。