设数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$，$n\in N^{+}$．已知$a_1=1,a_2=\frac{3}{2},a_3=\frac{5}{4}$，且当$n\ge 2$时，$4S_{n-2}+5S_n=8S_{n+1}+S_{n-1}$．
（1）求$a_4$的值；
（2）证明：$\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_n\right\}$为等比数列；
（3）求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式．