（本小题满分14分）已知椭圆的离心率，它的一个顶点在抛物线的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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（本小题满分14分）已知椭圆的离心率，它的一
个顶点在抛物线的准线上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上两点，已知，且.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ)判断的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由.

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$设数列 A : a_{1}, a_{2}, \dots a_{N} (N \geq) .如果对小于 n (2 \leq n \leq N)$ ， $的每个正整数 k 都有 a_{k} < a_{n}$ 则称 $n$ 是数列 $A$ 的一个 " $G$ 时刻" $，$ 记 $G (A)$ 是数列 $A$ 的所有 " $G$ 时刻" 组成的集合.

（1）对数列 A: $- 2, 2, - 1, 1, 3$ , 写出 $G (A)$ 的所有元素;

（2）证明：若数列 $A$ 中存在 $a_{n}$ 使得 $a_{n} > a_{1}$ , 则 $G (A) \neq \emptyset$ ;

（3）证明：若数列 $A$ 满足 $a_{n} - a_{n - 1} \leq (n = 2, 3, \dots ， N)$ 则G（A）的元素个数小于 $a_{N} - a_{1}$ ；

题型：未知
难度：未知

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已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, A (a, 0), B (0, b), O (0, 0), Δ OAB$ 的面积为 1 .

(1) 求椭圆 C 的方程;

(2) 设 $P$ 的椭圆 $C$ 上一点, 直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ , 直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ .

求证: $| AN | \cdot | BM |$ 为定值.

题型：未知
难度：未知

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设函数 $f (x) = x e^{a - x} + bx$ , 曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为 $y = （e - 1） x + 4$ ,

（1）求 $a ， b$ 的值；

（2）求 $f (x)$ 的单调区间；

题型：未知
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如图, 在四棱锥 $P - ABCD$ 中, 平面 $PAD ⊥$ 平面 $ABCD, PA ⊥ PD, PA = PD, AB ⊥ AD$ , $AB = 1, AD = 2, AC = CD = \sqrt{5}$ .

(1) 求证: $PD ⊥$ 平面 $PAB$ ;

(2) 求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值;

(3) 在棱 $PA$ 上是否存在点 $M$ , 使得 $BM / /$ 平面 $PCD$ ? 若存在, 求 $\frac{AM}{AP}$ 的值; 若不存在, 说明理由.

题型：未知
难度：未知

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A、B、C三个班共有 100 名学生, 为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间, 数据如下表（单位：小时);

A 班	$66.5$	7	$7.58$
B 班	6	7	8	9	10	11	12
C 班	3	$4.5$	6	$7.5$	9	$10.5$	12	$13.5$

（1）试估计 C 班的学生人数;

(2) 从 A 班和 $C$ 班抽出的学生中, 各随机选取一人， $A$ 班选出的人记为甲, $C$ 班选出的人记为乙, 假设所有学生的锻炼时间相对独立, 求该周甲的锻炼时间比乙的钗炼时间长的概率;

(3) 再从 A、B、C三个班中各随机抽取一名学生, 他们该周的锻炼时间分别是 7, 9, 8.25 (单位：小时), 这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 $μ_{1}$ , 表格中数据的平均数记为 $μ_{0}$ , 试判断 $μ_{0}$ 和 $μ_{1}$ 的大小, (结论不要求证明）

题型：未知
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