（本小题满分12分）如图四棱锥中，平面平面，，，且，．（1）

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）如图四棱锥中，平面平面，，，且，．

（1）求三棱锥的体积；
（2）问：棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．

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如图，在正方形 $O A B C$ 中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(10, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 10)$ ，分别将线段 $O A$ 和 $A B$ 十等分，分点分别记为 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{9}$ 和 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{9}$ ，连接 $O B_{i}$ ，过 $A_{i}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $O B_{i}$ 交于点 $P_{i} (i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9)$ 。

（1）求证：点 $P_{i} (i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9)$ 都在同一条抛物线上，并求抛物线 $E$ 的方程；
（2）过点 $C$ 作直线 $l$ 与抛物线E交于不同的两点 $M, N$ , 若 $∆ O C M$ 与 $∆ O C N$ 的面积之比为4:1，求直线 $l$ 的方程。

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某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\frac{2}{3}$ ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 $\frac{2}{5}$ ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 $X$ ,求 $X \leq 3$ 的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

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（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设 $Q (x_{0}, y_{0}) (x_{0} y_{0} \neq 0)$ 为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$ 。取点 $A (0, 2 \sqrt{2})$ ,连接 $A E$ ，过点 $A$ 作 $A E$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$ 。点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $Q G$ ，问这样作出的直线 $Q G$ 是否与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点？并说明理由.

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（Ⅰ）求 $I$ 的长度（注：区间 $(α, β)$ 的长度定义为 $β - α$ ；
（Ⅱ）给定常数 $k \in (0, 1)$ ，当 $1 - k \leq a \leq 1 + k$ 时，求 $I$ 长度的最小值.

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