2014年郑州市城镇民营企业就业人数突破20万，为了解城镇民

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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2014年郑州市城镇民营企业就业人数突破20万，为了解城镇民营企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇企业民营员工2014年月平均收入随机抽样调查，将抽样的数据按“2000元以内”、“2000元～4000元”、“4000元～6000元”和“6000元以上”分为四组，进行整理，分别用A，B，C，D表示，得到下列两幅不完整的统计图．

由图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的员工有_____人，在扇形统计图中x的值为_____，表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是_____；
（2）将不完整的条形图补充完整，并估计我市2013年城镇民营企业20万员工中，每月的收入在“2000元～4000元”的约多少人？
（3）统计局根据抽样数据计算得到，2013年我市城镇民营企业员工月平均收入为4872元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $AD$ 下方抛物线上一动点，连接 $PA$ ， $PD$ ，求 $ΔPAD$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4 (a \neq 0)$ 沿射线 $AD$ 平移 $4 \sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_{1}$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_{1}$ 的对称轴上任意一点，在 $y_{1}$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

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对于任意一个四位数 $m$ ，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数 $m$ 为"共生数"．例如： $m = 3507$ ，因为 $3 + 7 = 2 \times (5 + 0)$ ，所以3507是"共生数"； $m = 4135$ ，因为 $4 + 5 \neq 2 \times (1 + 3)$ ，所以4135不是"共生数"．

（1）判断5313，6437是否为"共生数"？并说明理由；

（2）对于"共生数" $n$ ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记 $F (n) = \frac{n}{3}$ ．求满足 $F (n)$ 各数位上的数字之和是偶数的所有 $n$ ．

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重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称"堂食"小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称"生食"小面）．已知3份"堂食"小面和2份"生食"小面的总售价为31元，4份"堂食"小面和1份"生食"小面的总售价为33元．

（1）求每份"堂食"小面和"生食"小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出"堂食"小面4500份，"生食"小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份"堂食"小面的价格保持不变，每份"生食"小面的价格降低 $\frac{3}{4} a %$ ．统计5月的销量和销售额发现："堂食"小面的销量与4月相同，"生食"小面的销量在4月的基础上增加 $\frac{5}{2} a %$ ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 $\frac{5}{11} a %$ ．求 $a$ 的值．

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探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y = x + | - 2 x + 6 | + m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	6	5	4	$a$	2	1	$b$	7	$\dots$

（1）写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：

$m =$ 　　， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　　；

（3）已知函数 $y = \frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x + | - 2 x + 6 | + m > \frac{16}{x}$ 的解集．

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如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形，连接 $AC$ ，且 $AC = 2 AB$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $∠ BAC$ 的角平分线与 $BC$ 交于点 $E$ ．连接 $BD$ 交 $AE$ 于点 $F$ ，交 $AC$ 于点 $O$ ，猜想线段 $BF$ 和线段 $DF$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

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