如图,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形,反比例函数在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,OB=,BF=BC。过点F作EF∥OB,交OA于点,点P为直线EF上的一个动点,连接PA,PO。若以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形,请求出所有点P的坐标。
如图,在四边形 ABCD 中, BD 为一条对角线, AD//BC , AD=2BC , ∠ABD=90° , E 为 AD 的中点,连接 BE .
(1)求证:四边形 BCDE 为菱形;
(2)连接 AC ,若 AC 平分 ∠BAD , BC=1 ,求 AC 的长.
关于 x 的一元二次方程 x 2 -(k+3)x+2k+2=0 .
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根小于1,求 k 的取值范围.
数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所得两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.
(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》 )
请根据该图完成这个推论的证明过程.
证明: S 矩形 NFGD = S ΔADC - S ΔANF + S ΔFGC , S 矩形 EBMF = S ΔABC -( + ) .
易知, S ΔADC = S ΔABC , = , = .
可得 S 矩形 NFGD = S 矩形 EBMF .
如图,在 ΔABC 中, AB=AC , ∠A=36° , BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D .
求证: AD=BC .
在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的坐标为 ( x 1 , y 1 ) ,点 Q 的坐标为 ( x 2 , y 2 ) ,且 x 1 ≠ x 2 , y 1 ≠ y 2 ,若 P , Q 为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点 P , Q 的"相关矩形",如图为点 P , Q 的"相关矩形"示意图.
(1)已知点 A 的坐标为 ( 1 , 0 ) ,
①若点 B 的坐标为 ( 3 , 1 ) ,求点 A , B 的"相关矩形"的面积;
②点 C 在直线 x = 3 上,若点 A , C 的"相关矩形"为正方形,求直线 AC 的表达式;
(2) ⊙ O 的半径为 2 ,点 M 的坐标为 ( m , 3 ) ,若在 ⊙ O 上存在一点 N ,使得点 M , N 的"相关矩形"为正方形,求 m 的取值范围.