有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角边长均为6（如

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角边长均为6（如图1所示）叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角满足0＜º＜90º，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．

（1）在上述旋转过程中，①BH与CK有怎样的数量关系？②四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．
（2）如图，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．

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（1）若 $EF$ 平分等腰梯形 $ABCD$ 的周长，设 $BE$ 长为 $x$ ，试用含 $x$ 的代数式表示 $△ BEF$ 的面积；

（2）是否存在线段 $EF$ 将等腰梯形 $ABCD$ 的周长和面积同时平分?若存在，求出此时 $BE$ 的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段 $EF$ 将等腰梯形 $ABCD$ 的周长和面积同时分成 $1 : 2$ 的两部分?若存在，求出此时 $BE$ 的长；若不存在，请说明理由.

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（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式，并写出自变量 $t$ 的取值范围；

（3）当点 $F$ 落在线段 $OB$ 上时，坐标平面内是否存在一点 $P$ ，使以 $M, A, O, P$ 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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（1）求抛物线的解析式和 $m$ 的值；

（2）在 $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得以 $D, E, P$ 为顶点的三角形与 $△ AOD$ 相似，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线 $y = 1$ 上有 $M, N$ 两点 $(M$ 在 $N$ 的左侧 $)$ ，且 $MN = 2$ ，若将线段 $MN$ 在直线 $y = 1$ 上平移，当它移动到某一位置时，四边形 $MEFN$ 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）.

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