（2014年湖北咸宁10分）如图1，P（m，n）是抛物线上任

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（2014年湖北咸宁10分）如图1，P（m，n）是抛物线上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．
【探究】
（1）填空：当m=0时，OP= ，PH= ；当m=4时，OP= ，PH= ；
【证明】
（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
【应用】
（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．

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如图，已知等边 $ΔABC$ ， $CD ⊥ AB$ 于 $D$ ， $AF ⊥ AC$ ， $E$ 为线段 $CD$ 上一点，且 $CE = AF$ ，连接 $BE$ ， $BF$ ， $EG ⊥ BF$ 于 $G$ ，连接 $DG$ ．

（1）求证： $BE = BF$ ；

（2）试说明 $DG$ 与 $AF$ 的位置关系和数量关系．

题型：未知
难度：未知

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公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线 $AB$ 与 $AC$ 的夹角为 $124 °$ ，凉亭顶盖边缘 $B$ 、 $C$ 到地面的距离为2.4米，石桌的高度 $DE$ 为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为 $42 °$ 时，恰好能够照到石桌的中央 $E$ 处 $(A$ 、 $E$ 、 $D$ 三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线 $AB$ 的长度．（结果精确到 $0.1 m)$ （参考数据： $\sin 62 ° \approx 0.88$ ， $\tan 42 ° \approx 0.90)$

题型：未知
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某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：

最喜爱的节目	人数
歌曲	15
舞蹈	$a$
小品	12
相声	10
其它	$b$

（1）在此次调查中，该校一共调查了　　名学生；

（2） $a =$ 　　； $b =$ 　　；

（3）在扇形计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．

题型：未知
难度：未知

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先化简，再求值： $(a - 1) \div (a + \frac{1}{a} - 2)$ ，其中 $a = - 1$ ．

题型：未知
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如图，抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 2)$ ，点 $A$ 的坐标是 $(2, 0)$ ， $P$ 为抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $BC$ 于点 $E$ ，抛物线的对称轴是直线 $x = - 1$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $P$ 在第二象限内，且 $PE = \frac{1}{4} OD$ ，求 $ΔPBE$ 的面积．

（3）在（2）的条件下，若 $M$ 为直线 $BC$ 上一点，在 $x$ 轴的上方，是否存在点 $M$ ，使 $ΔBDM$ 是以 $BD$ 为腰的等腰三角形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：未知
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