（2014年江西南昌12分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）.
第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去…
（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.
①请判断四边形EFGH的形状为 ，此时AE与BF的数量关系是 ；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.
（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．
（1）如图1，点为矩形
对角线
上一点，过点
作
，分别交
、
于点
、
．若
，
，
的面积为
，
的面积为
，则
；
（2）如图2，点为
内一点（点
不在
上），点
、
、
、
分别为各边的中点．设四边形
的面积为
，四边形
的面积为
（其中
，求
的面积（用含
、
的代数式表示）；
（3）如图3，点为
内一点（点
不在
上），过点
作
，
，与各边分别相交于点
、
、
、
．设四边形
的面积为
，四边形
的面积为
（其中
，求
的面积（用含
、
的代数式表示）；
（4）如图4，点、
、
、
把
四等分．请你在圆内选一点
（点
不在
、
上），设
、
、
围成的封闭图形的面积为
，
、
、
围成的封闭图形的面积为
，
的面积为
，
的面积为
，根据你选的点
的位置，直接写出一个含有
、
、
、
的等式（写出一种情况即可）．
在平面直角坐标系中，把与
轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线
的顶点为
，交
轴于点
、
（点
在点
左侧），交
轴于点
．抛物线
与
是“共根抛物线”，其顶点为
．
（1）若抛物线经过点
，求
对应的函数表达式；
（2）当的值最大时，求点
的坐标；
（3）设点是抛物线
上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若
与
相似，求其“共根抛物线”
的顶点
的坐标．
筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车
按逆时针方向每分钟转
圈，筒车与水面分别交于点
、
，筒车的轴心
距离水面的高度
长为
，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒
刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是
的切线，且与直线
交于点
，
．求盛水筒
从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线
上．
（参考数据：，
，
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