某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本
逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为_______万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.

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综合与探究

如图1所示，直线 $y = x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过点 $A$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式

（2）点 $E$ 在抛物线的对称轴上，求 $CE + OE$ 的最小值；

（3）如图2所示， $M$ 是线段 $OA$ 的上一个动点，过点 $M$ 垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $AC$ 和抛物线分别交于点 $P$ 、 $N$ ．

①若以 $C$ ， $P$ ， $N$ 为顶点的三角形与 $ΔAPM$ 相似，则 $ΔCPN$ 的面积为　　；

②若点 $P$ 恰好是线段 $MN$ 的中点，点 $F$ 是直线 $AC$ 上一个动点，在坐标平面内是否存在点 $D$ ，使以点 $D$ ， $F$ ， $P$ ， $M$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

注：二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标为 $(- \frac{b}{2 a}$ ， $\frac{4 ac - b^{2}}{4 a})$

题型：未知
难度：未知

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综合与实践

折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．

在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．

实践操作

如图1，将矩形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 翻折，使点 $B'$ 落在矩形 $ABCD$ 所在平面内， $B^{'} C$ 和 $AD$ 相交于点 $E$ ，连接 $B' D$ ．

解决问题

（1）在图1中，

① $B' D$ 和 $AC$ 的位置关系为　　；

②将 $ΔAEC$ 剪下后展开，得到的图形是　　；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时 $(AB \neq BC)$ ，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　；

拓展应用

（4）在图2中，若 $∠ B = 30 °$ ， $AB = 4 \sqrt{3}$ ，当△ $AB' D$ 恰好为直角三角形时， $BC$ 的长度为　　．

题型：未知
难度：未知

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某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人 $20 \min$ 后乘坐小轿车沿同一路线出行．大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的 $\frac{10}{7}$ 继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口 $6 km$ 时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程 $S$ （单位： $km)$ 和行驶时间 $t$ （单位： $\min)$ 之间的函数关系如图所示．