点，，，在同一球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大

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更新 2022-09-03
科目数学
题型填空题
难度中等
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挑错有奖

期中备考总动员高三理数学模拟卷【新课标1】9

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点，，，在同一球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为．

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已知集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $B = {3, 5, 6}$ ，则 $A \cap B =$ ________．

题型：未知
难度：未知

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设函数 $f (x) = e^{x} \cos x, g (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）当 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时，证明 $f (x) + g (x) (\frac{π}{2} - x) \geq 0$ ；

（Ⅲ）设 $x_{n}$ 为函数 $u (x) = f (x) - 1$ 在区间 $(2 nπ + \frac{π}{4}, 2 nπ + \frac{π}{2})$ 内的零点，其中 $n \in N$ ，证明 $2 nπ + \frac{π}{2} - x_{n} < \frac{e^{- 2 nπ}}{\sin x_{0} - \cos x_{0}}$ ．

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设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列．已知 $a_{1} = 4, b_{1} = 6 ， b_{2} = 2 a_{2} - 2, b_{3} = 2 a_{3} + 4$ ．

（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{1} = 1, c_{n} = \{\begin{matrix} 1, 2^{k} < n < 2^{k + 1}, \\ b_{k}, n = 2^{k}, \end{matrix}$ 其中 $k \in N^{*}$ ．

（i）求数列 $\{a_{2^{n}} (c_{2^{n}} - 1)\}$ 的通项公式；

（ii）求 $\sum_{i = 1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} (n \in N^{*})$ ．

题型：未知
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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $PB$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上．若 $| ON | = | OF |$ （ $O$ 为原点），且 $OP ⊥ MN$ ，求直线 $PB$ 的斜率．

题型：未知
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如图， $AE ⊥$ 平面 $ABCD$ ， $CF ∥ AE, AD ∥ BC$ ， $AD ⊥ AB, AB = AD = 1, AE = BC = 2$ ．

（Ⅰ）求证： $BF ∥$ 平面 $ADE$ ；

（Ⅱ）求直线 $CE$ 与平面 $BDE$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $E - BD - F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $CF$ 的长．

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