（本小题满分14分）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分14分）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．

（1）分别用表示和S的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．

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点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上， $x_{0} = a \cos β, y_{0} = b \sin β, 0 < β < \frac{π}{2}$ 直线 $l_{2}$ 与直线 $l_{1} : \frac{x_{0}}{a^{2}} x + \frac{y_{0}}{b^{2}} y = 1$ 垂直， $O$ 为坐标原点，直线 $O P$ 的倾斜角为 $α$ ，直线 $l_{2}$ 的倾斜角为 $γ$ .
（I）证明: 点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与直线 $l_{1}$ 的唯一交点；
（II）证明: $t a n α, \tan β, \tan γ$ 构成等比数列.

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（本小题满分14分）
设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

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（本小题满分14分）
设椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N (,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。

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（本小题共14分）
已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C$ 的顶点在原点，经过点 $A (2, 2)$ ，其焦点 $F$ 在 $x$ 轴上.

（1）求抛物线 $C$ 的标准方程；
（2）求过点 $F$ ，且与直线 $O A$ 垂直的直线的方程；
（3）设过点 $M (m, 0) (m > 0)$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $D$ 、 $E$ 两点， $M E = 2 D M$ ，记 $D$ 和 $E$ 两点间的距离为 $f (m)$ ，求 $f (m)$ 关于 $m$ 的表达式.

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