【改编】如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC∠AC

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【改编】如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．

（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．

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如图，在以线段 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上取一点 $C$ ，连接 $AC$ 、 $BC$ ．将 $ΔABC$ 沿 $AB$ 翻折后得到 $ΔABD$ ．

（1）试说明点 $D$ 在 $⊙ O$ 上；

（2）在线段 $AD$ 的延长线上取一点 $E$ ，使 $A B^{2} = AC \cdot AE$ ．求证： $BE$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（3）在（2）的条件下，分别延长线段 $AE$ 、 $CB$ 相交于点 $F$ ，若 $BC = 2$ ， $AC = 4$ ，求线段 $EF$ 的长．

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学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离 $y$ （米 $)$ 与时间 $t$ （分钟）之间的函数关系如图所示．

（1）根据图象信息，当 $t =$ 　　分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为　　米 $/$ 分钟；

（2）求出线段 $AB$ 所表示的函数表达式．

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一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　　件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

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“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形：

$A$ ．仅学生自己参与；

$B$ ．家长和学生一起参与；

$C$ ．仅家长自己参与；

$D$ ．家长和学生都未参与．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次抽样调查中，共调查了　　名学生；

（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算 $C$ 类所对应扇形的圆心角的度数；

（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数．

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在正方形 $ABCD$ 中，对角线 $BD$ 所在的直线上有两点 $E$ 、 $F$ 满足 $BE = DF$ ，连接 $AE$ 、 $AF$ 、 $CE$ 、 $CF$ ，如图所示．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔADF$ ；

（2）试判断四边形 $AECF$ 的形状，并说明理由．

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