已知某校四个社团的学生人数分别为10,5,20,15.现为了_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知某校四个社团的学生人数分别为10,5,20,15.现为了了解社团活动开展情况，用分层抽样的方法从四个社团的学生当中随机抽取10名学生参加问卷调查.
（Ⅰ）从四个社团中各抽取多少人？
（Ⅱ）在社团所抽取的学生总数中，任取2个,求社团中各有1名学生的概率.

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如图，在 $∆ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{3}, A B = 8$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $C D = 2$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{1}{7}$ .
（1）求 $\sin ∠ B A D$ ；
（2）求 $B D$ ， $A C$ 的长.

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设实数 $c > 0$ ，整数 $p > 1, n \in N^{+}$ .
（1）证明：当 $x > - 1$ 且 $x \neq 0$ 时， $(1 + x)^{p} > 1 + p x$ ；
（2）数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} > c^{\frac{1}{p}}, a_{n + 1} = \frac{p - 1}{p} a_{n} + \frac{c}{p} {a_{n}}^{1 - p}$ ，证明： $a_{n} > a_{n + 1} > c^{\frac{1}{p}}$ .

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如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ .四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D ∥ B C$ ,且 $A D = 2 B C$ .过 $A_{1}, C, D$ 三点的平面记为，与 $α$ 的交点为 $Q$ .
（1）证明： $Q$ 为 $B B_{1}$ 的中点；
（2）求此四棱柱被平面 $α$ 所分成上下两部分的体积之比；
（3）若 $A_{1} A = 4, C D = 2$ ，梯形 $A B C D$ 的面积为6，求平面 $α$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角大小.

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如图，已知两条抛物线 $E_{1} : y^{2} = 2 p_{1} x (p_{1} > 0)$ 和 $E_{2} : y^{2} = 2 p_{2} x (p_{2} > 0)$ ，过原点 $O$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $A_{1}, A_{2}$ 两点， $l_{2}$ 与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $B_{1}, B_{2}$ 两点.
（1）证明： $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$

（2）过原点 $O$ 的直线 $l$ （异于 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ）与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $C_{1}, C_{2}$ 两点.记 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积分别为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ,求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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设函数 $f (x) = 1 + (1 + a) x - x^{2} - x^{3}$ ,其中 $a > 0$ .
（1）讨论 $f (x)$ 在其定义域上的单调性；
（2）当 $x \in [0.1]$ 时，求 $f (x)$ 取得最大值和最小值时的的值.

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