本小题满分13分）已知椭圆（）的右焦点与抛物线的焦点重合，且

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
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本小题满分13分）已知椭圆（）的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线（）与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆．若圆与轴相切，求直线被圆所截得的弦长．

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如图，在圆 $O$ 中，相交于点 $E$ 的两弦 $A B$ ， $C D$ 的中点分别是 $M$ ， $N$ ，直线 $M O$ 与直线 $C D$ 相交于点 $F$ ，证明：

（1） $∠ M E N + ∠ N O M = 180 °$ ；
（2） $F E \cdot F N = F M \cdot F O$

题型：未知
难度：未知

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一种画椭圆的工具如图①所示． $O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆 $O N$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $M N$ 通过 $N$ 处铰链与 $O N$ 连接， $M N$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $A B$ 滑动，且 $D N = O N = 1$ ， $M N = 3$ ．当栓子 $D$ 在滑槽 $A B$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动， $M$ 处的笔尖画出的椭圆记为 $C$ ．以 $O$ 为原点， $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1} : x - 2 y = 0$ 和 $l_{2} : x + 2 y = 0$ 分别交于 $P, Q$ 两点．若直线 $l$ 总与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，试探究： $△ O P Q$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

题型：未知
难度：未知

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设函数的定义域均为,且是奇函数,是偶函数,,其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）求的解析式，并证明：当时,；
（Ⅱ）设,证明：当时,．

题型：未知
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《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，连接 $D E, B D, B E$ ．

（Ⅰ）证明： $D E ⊥$ 平面 $P B C$ ．试判断四面体 $E B C D$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马 $P - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，四面体 $E B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ $A B C D$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ,前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为 $q$ .已知 $b_{1} = a_{1}, b_{2} = 2, q = d, S_{10} = 100$ ．
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ , $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）当 $d > 1$ 时,记 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ,求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

题型：未知
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