已知函数．（1）若，解不等式；（2）若，，求实数的取值范围．

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）若，，求实数的取值范围．

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函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，定义数列 ${x_{n}}$ 如下: $x_{1} = 2$ ， $x_{n + 1}$ 是过两点 $P (4, 5 ）$ 、 $Q_{n} (x_{n}, f (x_{n}))$ 的直线 $P Q_{n}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
（Ⅰ）证明： $2 x_{n} ＜ x_{n + 1} ＜ 3$ ；
（Ⅱ）求数列 ${x_{n}}$ 的通项公式。

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已知抛物线 $C :$ $y = (x + 1)^{2}$ 与圆 $M :$ $(x - 1)^{2} + (y - 2) 2 = r^{2} (r ＞ 0)$ 有一个公共点，且在 $A$ 处两曲线的切线为同一直线 $l$ .
（Ⅰ）求 $r$ ；
（Ⅱ）设 $m$ 、 $n$ 是异于 $l$ 且与 $C$ 及 $M$ 都相切的两条直线， $m$ 、 $n$ 的交点为 $D$ ，求 $D$ 到 $l$ 的距离.

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设函数 $f (x) = a x + \cos x, x \in [0, π]$ 。
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设 $f (x) \leq 1 + \sin x$ ，求 $a$ 的取值范围。

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乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ） $ξ$ 表示开始第4次发球时乙的得分，求 $ξ$ 的期望。

题型：未知
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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 上的一点， $P E = 2 E C$ .

（Ⅰ）证明： $P C ⊥$ 平面 $B E D$ ；
（Ⅱ）设二面角 $A - P B - C$ 为 $90^{°}$ ，求 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的大小

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