如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AD上一点，且

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AD上一点，且AE＝3，ED＝2，BC＝15，AB＝8，DC＝6，则AB与CD互相垂直吗？请说明理由．

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如图，菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $AC = 12 cm$ ， $BD = 16 cm$ ，动点 $N$ 从点 $D$ 出发，沿线段 $DB$ 以 $2 cm / s$ 的速度向点 $B$ 运动，同时动点 $M$ 从点 $B$ 出发，沿线段 $BA$ 以 $1 cm / s$ 的速度向点 $A$ 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为 $t (s) (t > 0)$ ，以点 $M$ 为圆心， $MB$ 长为半径的 $⊙ M$ 与射线 $BA$ ，线段 $BD$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，连接 $EN$ ．

（1）求 $BF$ 的长（用含有 $t$ 的代数式表示），并求出 $t$ 的取值范围；

（2）当 $t$ 为何值时，线段 $EN$ 与 $⊙ M$ 相切？

（3）若 $⊙ M$ 与线段 $EN$ 只有一个公共点，求 $t$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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【操作发现】

（1）如图1， $ΔABC$ 为等边三角形，先将三角板中的 $60 °$ 角与 $∠ ACB$ 重合，再将三角板绕点 $C$ 按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0 °$ 且小于 $30 °)$ ，旋转后三角板的一直角边与 $AB$ 交于点 $D$ ，在三角板斜边上取一点 $F$ ，使 $CF = CD$ ，线段 $AB$ 上取点 $E$ ，使 $∠ DCE = 30 °$ ，连接 $AF$ ， $EF$ ．

①求 $∠ EAF$ 的度数；

② $DE$ 与 $EF$ 相等吗？请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2， $ΔABC$ 为等腰直角三角形， $∠ ACB = 90 °$ ，先将三角板的 $90 °$ 角与 $∠ ACB$ 重合，再将三角板绕点 $C$ 按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0 °$ 且小于 $45 °)$ ，旋转后三角板的一直角边与 $AB$ 交于点 $D$ ，在三角板另一直角边上取一点 $F$ ，使 $CF = CD$ ，线段 $AB$ 上取点 $E$ ，使 $∠ DCE = 45 °$ ，连接 $AF$ ， $EF$ ．请直接写出探究结果：

① $∠ EAF$ 的度数；

②线段 $AE$ ， $ED$ ， $DB$ 之间的数量关系．

题型：未知
难度：未知

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数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度 $- 20^{°} C$ 时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到 $- 4^{°} C$ 时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至 $- 20^{°} C$ 时，制冷再次停止， $\dots$ ，按照以上方式循环进行．

同学们记录了 $44 \min$ 内15个时间点冷柜中的温度 $y (^{°} C)$ 随时间 $x (\min)$ 的变化情况，制成下表：

时间 $x / \min$	$\dots$	4	8	10	16	20	21	22	23	24	28	30	36	40	42	44	$\dots$
温度 $y /^{°} C$	$\dots$	$- 20$	$- 10$	$- 8$	$- 5$	$- 4$	$- 8$	$- 12$	$- 16$	$- 20$	$- 10$	$- 8$	$- 5$	$- 4$	$a$	$- 20$	$\dots$

（1）通过分析发现，冷柜中的温度 $y$ 是时间 $x$ 的函数．

①当 $4 ⩽ x < 20$ 时，写出一个符合表中数据的函数解析式　　；

②当 $20 ⩽ x < 24$ 时，写出一个符合表中数据的函数解析式　　；

（2） $a$ 的值为　　；

（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当 $4 ⩽ x ⩽ 44$ 时温度 $y$ 随时间 $x$ 变化的函数图象．

题型：未知
难度：未知

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今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．

（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；

（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：

试问去哪个商场购买足球更优惠？

题型：未知
难度：未知

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主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：

$A$ ．放下自我，彼此尊重；

$B$ ．放下利益，彼此平衡；

$C$ ．放下性格，彼此成就；

$D$ ．合理竞争，合作双赢．

要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制了如图两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

观点	频数	频率
$A$	$a$	0.2
$B$	12	0.24
$C$	8	$b$
$D$	20	0.4

（1）参加本次讨论的学生共有　　人；

（2）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）现准备从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点 $D$ （合理竞争，合作双赢）的概率．

题型：未知
难度：未知

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