（本题满分8分）如图，正四棱柱的底面边长，若异面直线与所成角

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本题满分 8 分）如图，正四棱柱的底面边长，若异面直线与所成角的大小为，求正四棱柱的体积.

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已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sin x - \cos x) + 1, x \in R$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{3 π}{4}]$ 上的最小值和最大值．

题型：未知
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已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} + b x$ 在区间 $[- 1, 1)$ , $(1, 3]$ 内各有一个极值点．
（I）求 $a^{2} - 4 b$ 的最大值；
（II）当 $a^{2} - 4 b = 8$ 时，设函数 $y = f (x)$ 在点 $A (1, f (1))$ 处的切线为 $l$ ，若 $l$ 在点 $A$ 处穿过函数 $y = f (x)$ 的图象（即动点在点 $A$ 附近沿曲线 $y = f (x)$ 运动，经过点 $A$ 时，从 $l$ 的一侧进入另一侧），求函数 $y = f (x)$ 的表达式．

题型：未知
难度：未知

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设 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ （ $n \in N^{+}$ ）的前 $n$ 项和， $a_{1} = a$ ，且 $S n^{2} = 3 n^{2} a_{n} + {S_{n - 1}}^{2}$ ， $a_{n} \neq 0$ ， $n = 2, 3, 4, . . .$ ．
（I）证明：数列 $\{a_{n + 2} - a_{n}\}$ $(n \geq 2)$ 是常数数列；
（II）试找出一个奇数 $a$ ，使以18为首项，7为公比的等比数列 $\{b_{n}\} (n \in N^{*})$ 中的所有项都是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，并指出 $b_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 中的第几项．

题型：未知
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已知双曲线 $x^{2} - y^{2} = 2$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的动直线与双曲线相交于 $A, B$ 两点，点 $C$ 的坐标是 $(1, 0)$ ．
（I）证明 $\overset{⇀}{C A}$ ， $\overset{⇀}{C B}$ 为常数；
（II）若动点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{C M} = \overset{⇀}{C A} + \overset{⇀}{C B} + \overset{⇀}{C O}$ （其中 $O$ 为坐标原点），求点 $M$ 的轨迹方程．

题型：未知
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如图，已知直二面角 $α - P Q - β$ ， $A \in P Q$ ， $B \in α$ ， $C \in β$ ， $C A = C B$ ， $∠ B A P = 45 °$ , $C A$ 和平面 $α$ 所成的角为 $30 °$ ．
（I）证明 $B C ⊥ P Q$ ；
（II）求二面角 $B - A C - P$ 的大小．

题型：未知
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