（本小题满分14分）如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分14分）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AD＝1，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，Q是AD的中点．

（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）M在线段PC上，PM＝tPC，问线段BC上是否存在一点R，使得当t∈(0，1)时，总有BQ∥平面MDR？若存在，确定R点位置；若不存在，请说明理由．

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设函数 $f (x), g (x)$ 的定义域均为 $R$ ,且 $f (x)$ 是奇函数, $g (x)$ 是偶函数, $f (x) + g (x) = e^{x}$ ,其中 $e$ 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求 $f (x), g (x)$ 的解析式，并证明：当 $x > 0$ 时, $f (x) > 0, g (x) > 1$ ；
（Ⅱ）设 $a \leq 0, b \geq 1$ ,证明：当 $x > 0$ 时, $a g (x) + (1 - a) < \frac{f (x)}{x} < b g (x) + (1 - b)$ ．

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《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，连接 $D E, B D, B E$ ．

（Ⅰ）证明： $D E ⊥$ 平面 $P B C$ ．试判断四面体 $E B C D$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马 $P - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，四面体 $E B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ $A B C D$ 的值．

题型：未知
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设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ,前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为 $q$ .已知 $b_{1} = a_{1}, b_{2} = 2, q = d, S_{10} = 100$ ．
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ , $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）当 $d > 1$ 时,记 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ,求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

题型：未知
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某同学用"五点法"画函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $f (x)$ 的解析式；
（Ⅱ）将 $y = f (x)$ 图象上所有点向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 图象，求 $y = g (x)$ 的图象离原点 $O$ 最近的对称中心．

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已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $b_{n} = n (1 + \frac{1}{n}) a_{n}, (n \in N_{+})$ ， $e$ 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数 $f (x) = 1 + x - e^{x}$ 的单调区间，并比较 $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ 与 $e$ 的大小；
（Ⅱ）计算 $\frac{b_{1}}{a_{1}}, \frac{b_{1} b_{2}}{a_{1} a_{2}}, \frac{b_{1} b_{2} b_{3}}{a_{1} a_{2} a_{3}}$ ，由此推测计算 $\frac{b_{1} b_{2} . . . b_{n}}{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}$ 的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令 $c_{n} = (a_{1} a_{2} . . . a_{n})^{\frac{1}{n}}$ ，数列 ${a_{n}}$ ， ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}, T_{n}$ , 证明： $T_{n} < e S_{n}$ ．

题型：未知
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