推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程．
如图，点 为抛物线 上一动点．
（1）若抛物线 是由抛物线 通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线 经过 轴上一点 ，且平行于 轴，点 的坐标为 ，过点 作 于 ．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 ，使得 恒成立？若存在，求出点 的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点 的坐标为 ，求 的最小值．
如图， 是以 为圆心的半圆的直径，半径 ，点 是 上的动点，且不与点 、 、 重合，直线 交直线 于点 ，连接 与 ．
（1）若半圆的半径为10．
①当 时，求 的长；
②当 时，求 的长．
（2）探究：在点 运动的过程中， 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
如图，点 在函数 的图象上，过点 分别作 轴和 轴的平行线交函数 的图象于点 、 ．
（1）若点 的坐标为 ．
①求 、 两点的坐标；
②求直线 的解析式；
（2）求 的面积．
湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
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