已知二次函数的图象经过点(0,3),顶点坐标为(1,4),(1)求这个二次函数的解析式;(2)求图象与x轴交点A、B两点的坐标;(3)图象与y轴交点为点C,求三角形ABC的面积.
阅读下列材料:
已知:如图1,等边△ A 1 A 2 A 3 内接于 ⊙ O ,点 P 是 A 1 A 2 ̂ 上的任意一点,连接 P A 1 , P A 2 , P A 3 ,可证: P A 1 + P A 2 = P A 3 ,从而得到: P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 = 1 2 是定值.
(1)以下是小红的一种证明方法,请在方框内将证明过程补充完整;
证明:如图1,作 ∠ P A 1 M = 60 ° , A 1 M 交 A 2 P 的延长线于点 M .
∵ △ A 1 A 2 A 3 是等边三角形,
∴ ∠ A 3 A 1 A 2 = 60 ° ,
∴ ∠ A 3 A 1 P = ∠ A 2 A 1 M
又 A 3 A 1 = A 2 A 1 , ∠ A 1 A 3 P = ∠ A 1 A 2 P ,
∴ △ A 1 A 3 P ≅ △ A 1 A 2 M
∴ P A 3 = M A 2 = P A 2 + PM = P A 2 + P A 1 .
∴ P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 = 1 2 ,是定值.
(2)延伸:如图2,把(1)中条件“等边△ A 1 A 2 A 3 ”改为“正方形 A 1 A 2 A 3 A 4 ”,其余条件不变,请问: P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 + P A 4 还是定值吗?为什么?
(3)拓展:如图3,把(1)中条件“等边△ A 1 A 2 A 3 ”改为“正五边形 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ”,其余条件不变,则 P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 + P A 4 + P A 5 = (只写出结果).
矩形 AOBC 中, OB = 4 , OA = 3 .分别以 OB , OA 所在直线为 x 轴, y 轴,建立如图1所示的平面直角坐标系. F 是 BC 边上一个动点(不与 B , C 重合),过点 F 的反比例函数 y = k x ( k > 0 ) 的图象与边 AC 交于点 E .
(1)当点 F 运动到边 BC 的中点时,求点 E 的坐标;
(2)连接 EF ,求 ∠ EFC 的正切值;
(3)如图2,将 ΔCEF 沿 EF 折叠,点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处,求此时反比例函数的解析式.
已知:如图,以等边 ΔABC 的边 BC 为直径作 ⊙ O ,分别交 AB , AC 于点 D , E ,过点 D 作 DF ⊥ AC 交 AC 于点 F .
(1)求证: DF 是 ⊙ O 的切线;
(2)若等边 ΔABC 的边长为8,求由 DE ̂ 、 DF 、 EF 围成的阴影部分面积.
“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的 50 % 标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?
(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?
在数学实践活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在 A 处测得雕塑顶端点 C 的仰角为 30 ° ,再往雕塑方向前进4米至 B 处,测得仰角为 45 ° .问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值. )