（1）如图1，点 为矩形 对角线 上一点，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ．若 ， ， 的面积为 ， 的面积为 ，则 ；
（2）如图2，点 为 内一点（点 不在 上），点 、 、 、 分别为各边的中点．设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ，求 的面积（用含 、 的代数式表示）；
（3）如图3，点 为 内一点（点 不在 上），过点 作 ， ，与各边分别相交于点 、 、 、 ．设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ，求 的面积（用含 、 的代数式表示）；
（4）如图4，点 、 、 、 把 四等分．请你在圆内选一点 （点 不在 、 上），设 、 、 围成的封闭图形的面积为 ， 、 、 围成的封闭图形的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，根据你选的点 的位置，直接写出一个含有 、 、 、 的等式（写出一种情况即可）．
在平面直角坐标系 中，把与 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线 的顶点为 ，交 轴于点 、 （点 在点 左侧），交 轴于点 ．抛物线 与 是“共根抛物线”，其顶点为 ．
（1）若抛物线 经过点 ，求 对应的函数表达式；
（2）当 的值最大时，求点 的坐标；
（3）设点 是抛物线 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若 与 相似，求其“共根抛物线” 的顶点 的坐标．
筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 的筒车 按逆时针方向每分钟转 圈，筒车与水面分别交于点 、 ，筒车的轴心 距离水面的高度 长为 ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒 首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒 距离水面多高？
（3）若接水槽 所在直线是 的切线，且与直线 交于点 ， ．求盛水筒 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 上．
（参考数据： ， ，
如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ，点 在 轴的负半轴上， 交 轴于点 ， 为线段 的中点．
（1） ，点 的坐标为 ；
（2）若点 为线段 上的一个动点，过点 作 轴，交反比例函数图象于点 ，求 面积的最大值．
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