在1,2,---,7这7个自然数中,任取个不同的数.(1)求这个数中至少有个是偶数的概率;(2)设为这个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为,则有两组相邻的数和,此时的值是).求随机变量的分布列及其数学期望.
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数, P ( X = i ) = p i ( i = 0 , 1 , 2 , 3 ) .
(1)已知 p 0 = 0 . 4 , p 1 = 0 . 3 , p 2 = 0 . 2 , p 3 = 0 . 1 ,求 E ( X ) ;
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程: p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + p 3 x 3 = x 的一个最小正实根,求证:当 E ( X ) ≤ 1 时, p = 1 ,当 E ( X ) > 1 时, p < 1 ;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
已知椭圆C的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) ,右焦点为 F ( 2 , 0 ) ,且离心率为 6 3 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线 MN 与曲线 x 2 + y 2 = b 2 ( x > 0 ) 相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是 | MN | = 3 .
在四棱锥中,底面 ABCD 是正方形,若 AD = 2 , QD = QA = 5 , QC = 3 .
(1)证明:平面 QAD ⊥ 平面 ABCD ;
(2)求二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值.
在 △ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c , b = a + 1 , c = a + 2 ..
(1)若 2 sin C = 3 sin A ,求 △ ABC 的面积;
(2)是否存在正整数 a ,使得 △ ABC 为钝角三角形?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.
记 S n 是公差不为0的等差数列 a n 的前n项和,若 a 3 = S 5 , a 2 a 4 = S 4 .
(1)求数列 a n 的通项公式 a n ;
(2)求使 S n > a n 成立的n的最小值.