成都市海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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成都市海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．

地区	A	B	C
数量	50	150	100

（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品中来自C地区的样品数X的分布列及数学期望。

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将从点 $M$ 出发沿纵、横方向到达点 $N$ 的任一路径成为 $M$ 到 $N$ 的一条" $L$ 路径"。如图所示的路径 $M M_{1} M_{2} M_{3} N 与路径 M N_{1} N$ 都是 $M$ 到 $N$ 的" $L$ 路径"。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $x O y$ 内三点 $A (3, 20), B (- 10, 0), C (14, 0)$ 处。现计划在 $x$ 轴上方区域（包含x轴）内的某一点 $P$ 处修建一个文化中心。

（I）写出点 $P$ 到居民区 $A$ 的" $L$ 路径"长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点 $O$ 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，" $L$ 路径"不能进入保护区，请确定点 $P$ 的位置，使其到三个居民区的" $L$ 路径"长度值和最小。

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（II）求直线 $B_{1} C_{1} 与平面 A C D_{1}$ 所成角的正弦值.

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$X$	1	2	3	4
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（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好"相近"的概率；
（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.

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（II）求使 $f (x) \geq g (x)$ 成立的 $x$ 的取值集合.

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(Ⅰ) 当 $k = 1$ 时,求函数 $f (x)$ 的单调区间；
(Ⅱ) 当 $k \in (\frac{1}{2}, 1]$ 时,求函数 $f (x)$ 在 $[0, k]$ 上的最大值 $M$ .

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