如图,海上有两个小岛相距10,船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为,现从船O上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业,且.设。(1)用分别表示和,并求出的取值范围;(2)晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射A岛,B岛至光线的距离为,求BD的最大值.
设数列 a n 的前 n 项和为Sn,满足 2 S n = a n + 1 -2 n + 1 +1,n∈N+ ,且 a 1 , a 2 +5 , a 3 成等差数列. (1)求 a 1 的值; (2)求数列 a n 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 +…+ 1 a n < 3 2 .
如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA⊥ 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC⊥ 平面 BDE . (1)证明: BD⊥ 平面 PAC ; (2)若 PA=1 , AD=2 ,求二面角 B-PC-A 的正切值.
某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为 ξ ,求 ξ 的数学期望.
已知函数 f ( x ) = 2 cos ( ω x + π 6 ) (其中 ω > 0 , x ∈ R )的最小正周期为 10 π . (1)求 ω 的值; (2)设 α , β ∈ [ 0 , π 2 ] , f ( 5 α + 5 3 π ) = - 6 5 , f ( 5 β - 5 6 π ) = 16 17 ,求 cos ( α + β ) 的值.
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: x2 3 +y2=1 .如图所示,斜率为 k k > 0 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直线 x=-3 于点 D - 3 , m . (1)求 m2+k2 的最小值; (2)若 O G 2= O D · O E
(i)求证:直线 l 过定点; (ii)试问点 B,G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 △ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.