（满分12分）如图，在棱长均为4的三棱柱中，、分别是BC和的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（满分12分）如图，在棱长均为4的三棱柱中，、分别是BC和的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）若平面ABC⊥平面，，
求三棱锥的体积

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在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$ ，且，已知 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 2$ ， $\cos B = \frac{1}{3}, b = 3$ ，求：
（1） $a$ 和 $c$ 的值；
（2） $\cos (B - C)$ 的值.

题型：未知
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已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x + 1 (x > 0)$ .
（1）求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）记 $x_{i}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $i (i \in N^{*})$ 个零点，证明：对一切 $n \in N^{*}$ ，有 $\frac{1}{{x^{2}}_{1}} + \frac{1}{{x^{2}}_{2}} + \dots + \frac{1}{{x^{2}}_{n}^{}} < \frac{2}{3}$ .

题型：未知
难度：未知

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如图5， $O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{{a_{1}}^{2}} - \frac{y^{2}}{{b_{1}}^{2}} = 1 (a_{1} > 0, b_{1} > 0)$ 和椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{{a_{1}}^{2}} + \frac{y^{2}}{{b_{2}}^{2}} = 1 (a_{2} > b_{2} > 0)$ 均过点 $P (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
(2)是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}| = |\overset{⇀}{A B}|$ ？证明你的结论.

题型：未知
难度：未知

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如图,在平面四边形 $A B C D$ 中, $D A ⊥ A B, D E = 1, E C = \sqrt{7}, E A = 2, ∠ A D C = \frac{2 π}{3}, ∠ B E C = \frac{π}{3}$ .

(1)求 $\sin ∠ C E D$ 的值；
(2)求 $B E$ 的长

题型：未知
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如图，已知二面角 $α - M N - β$ 的大小为 $60 °$ ，菱形 $A B C D$ 在面 $β$ 内， $A, B$ 两点在棱 $M N$ 上， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $D O ⊥$ 面 $α$ ，垂足为 $O$ .
(1)证明： $A B ⊥$ 平面 $O D E$ ；
(2)求异面直线 $B C$ 与 $O D$ 所成角的余弦值.

题型：未知
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