证明：对任给的奇素数p，总存在无穷多个正整数n使得p|（n2

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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证明：对任给的奇素数p，总存在无穷多个正整数n使得p|（n2ⁿ﹣1）．

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如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°。
（1）求证：平面MAP⊥平面SAC。
（2）求二面角M—AC—B的平面角的正切值；

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已知函数是上的偶函数.
（1）求的值；
（2）证明函数在上是增函数．

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已知函数,且.

（Ⅰ）求的值,并在给定的直角坐标系内画出的图象；
（Ⅱ）写出的单调递增区间;
（Ⅲ）当时,求的取值范围．

题型：未知
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设函数 $f (x) = x - x \ln x$ ．数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $0 < a_{1} < 1, a_{n - 1} = f (a_{n})$

（Ⅰ）证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 是增函数；
（Ⅱ）证明： $a_{n} < a_{n - 1} < 1$ ；
（Ⅲ）设 $b \in (a_{1}, 1)$ ，整数 $k \geq \frac{a_{1} - b}{a_{1} \ln b}$ ．证明： $a_{n - 1} > b$ ．

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四棱锥 $A - B C D E$ 中，底面 $B C D E$ 为矩形，侧面 $A B C ⊥$ 底面 $B C D E$ ， $B C = 2, C D = \sqrt{2}, A B = A C$ .
（Ⅰ）证明： $A D ⊥ C E$ ；
（Ⅱ）设 $C E$ 与平面 $A B E$ 所成的角为 $45^{°}$ ，求二面角 $C - A D - E$ 的大小.

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