已知数列是公比为的等比数列,是其前项和，且成等差数列（1）求

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知数列是公比为的等比数列,是其前项和，且成等差数列
（1）求证：也成等差数列
（2）判断以为前三项的等差数列的第四项是否也是数列中的一项，若是求出这一项，若不是请说明理由．

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设函数 $f (x) = a x^{n} (1 - x) + b (x > 0)$ ， $n$ 为正整数， $a, b$ 为常数，曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + y = 1$ .
（1）求 $a, b$ 的值；

（2）求函数 $f (x)$ 的最大值；

（3）证明： $f (x) < \frac{1}{n e}$ .

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设 $A$ 是单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点， $l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线， $D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|D M| = m |D A| (m > 0 且 m \neq 1)$ ，当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（1）求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.
（2）过原点斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，且它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $Q N$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ ，是否存在 $m$ ,使得对任意的 $k > 0$ ，都有 $P Q ⊥ P H$ ？若存在，请说明理由。

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已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 前三项的和为，前三项的积为。
（1）求等差数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若 $a_{2}, a_{3}, a_{1}$ 成等比数列，求数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和.

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某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ ，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 $A B C D - A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ .

（1）证明：直线 $B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{2} A_{2}$ ；
（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知 $A B = 10, A_{1} B_{1} = 20, A A_{2} = 30, A A_{1} = 13$ （单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为 $0.20$ 元，需加工处理费多少元？

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设函数 $f (x) = \sin^{2} ω x + 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - \cos^{2} ω x + λ (x \in R)$ 的图像关于直线 $x = π$ 对称，其中 $ω, λ$ 为常数，且 $ω \in (\frac{1}{2}, 1)$ .

（1）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）若 $y = f (x)$ 的图像经过点 $(\frac{π}{4}, 0)$ ，求函数 $f (x)$ 的值域。

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