某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中．准备在形如Rt的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△EMH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：

品种	红色花草	黄色花草	紫色花草
价格（元/米²）	60	80	120

设的长为米，正方形的面积为平方米，买花草所需的费用为元，解答下列问题：
（1）与之间的函数关系式为；
（2）求与之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；
（3）当买花草所需的费用最低时，求的长．

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如图，抛物线 $y = x^{2} + mx$ 与直线 $y = - x + b$ 相交于点 $A (2, 0)$ 和点 $B$ ．

（1）求 $m$ 和 $b$ 的值；

（2）求点 $B$ 的坐标，并结合图象写出不等式 $x^{2} + mx > - x + b$ 的解集；

（3）点 $M$ 是直线 $AB$ 上的一个动点，将点 $M$ 向左平移3个单位长度得到点 $N$ ，若线段 $MN$ 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 $M$ 的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围．

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类别

价格

$A$ 款玩偶

$B$ 款玩偶

进货价（元 $/$ 个）

销售价（元 $/$ 个）

（1）第一次小李用1100元购进了 $A$ ， $B$ 两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．

（2）第二次小李进货时，网店规定 $A$ 款玩偶进货数量不得超过 $B$ 款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？

（注：利润率 $= \frac{利润}{成本} \times 100 %)$

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小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” $AP$ ， $BP$ 的连接点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，当点 $P$ 在 $⊙ O$ 上转动时，带动点 $A$ ， $B$ 分别在射线 $OM$ ， $ON$ 上滑动， $OM ⊥ ON$ ．当 $AP$ 与 $⊙ O$ 相切时，点 $B$ 恰好落在 $⊙ O$ 上，如图2．

请仅就图2的情形解答下列问题．

（1）求证： $∠ PAO = 2 ∠ PBO$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $AP = \frac{20}{3}$ ，求 $BP$ 的长．

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开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点 $A$ 与佛像 $BD$ 的底部 $D$ 在同一水平线上．已知佛像头部 $BC$ 为 $4 m$ ，在 $A$ 处测得佛像头顶部 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，头底部 $C$ 的仰角为 $37.5 °$ ，求佛像 $BD$ 的高度（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 37.5 ° \approx 0.61$ ， $\cos 37.5 ° \approx 0.79$ ， $\tan 37.5 ° \approx 0.77)$ ．

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（1）求反比例函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积．

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