己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为（1）

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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己知长方体的三条棱长分别为a、b、c，其外接球的半径为
（1）求长方体体积的最大值：
（2）设，求的最大值

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假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（Ⅱ）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率.

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直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A B = A A_{1}, ∠ C A B = \frac{π}{2}$ .

（Ⅰ）证明 $C B_{1} ⊥ B A_{1}$ ;
（Ⅱ）已知 $A B = 2, B C = \sqrt{5}$ ,求三棱锥 $C_{1} - A B A_{1}$ 的体积.

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函数 $f (x) = A \sin (ω x - \frac{π}{6}) + 1 (A > 0, ω > 0)$ 的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $f (\frac{α}{2}) = 2$ ，求 $α$ 的值

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已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q = - \frac{1}{2}$ .
（1）若 $a_{3}$ =，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和；
（Ⅱ）证明：对任意 $k \in N_{+}$ ， $a_{k}$ ， $a_{k + 2}$ ， $a_{k + 1}$ 成等差数列.

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已知 $a$ 为正实数, $n$ 为自然数,抛物线 $y = - x^{2} + \frac{a_{n}}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$ ,设 $f (n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距.
（1）用 $a$ 和 $n$ 表示 $f (n)$ ；
（2）求对所有 $n$ 都有 $\frac{f (n) - 1}{f (n) + 1} \geq \frac{n^{3}}{n^{3} + 1}$ 成立的 $a$ 的最小值；
（3）当 $0 < a < 1$ 时,比较 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{f (k) - f (2 k)}$ 与 $\frac{27}{4} \cdot \frac{f (1) - f (n)}{f (0) - f (1)}$ 的大小,并说明理由.

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