厂有215名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务,已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或2个H型装置.现将工人分成两组,每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人,他们加工完G型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位:小时,可不为整数).(1)写出g(x),h(x)的解析式;(2)应怎样分组,才能使完成总任务时两组所需时间之和最少?
在平面直角坐标系中,已知点和,圆是以为圆心,半径为的圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线和半径所在的直线交于点.(Ⅰ)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;(Ⅱ)已知,是曲线上的两点,若曲线上存在点,满足(为坐标原点),求实数的取值范围.
学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽为2米,,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为,对称轴与地面垂直,沟深2米,沟中水深1米.(Ⅰ)求水面宽;(Ⅱ)如图1所示形状的几何体称为柱体,已知柱体的体积为底面积乘以高,求沟中的水有多少立方米?(Ⅲ)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟,使沟的底面与地面平行,沟深不变,两腰分别与抛物线相切(如图2),问改挖后的沟底宽为多少米时,所挖的土最少?
如图1,已知的直径,点、为上两点,且,,为弧的中点.将沿直径折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)在弧上是否存在点,使得平面?若存在,试指出点的位置;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)求二面角的正弦值.
已知函数的部分图象如图所示,其中点为最高点,点为图象与轴的交点,在中,角对边为,,且满足.(Ⅰ)求的面积;(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
已知函数,其中.(Ⅰ)若,求函数的极值点;(Ⅱ)若在区间内单调递增,求实数的取值范围.