厂有215名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务,已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或2个H型装置.现将工人分成两组,每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人,他们加工完G型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位:小时,可不为整数).(1)写出g(x),h(x)的解析式;(2)应怎样分组,才能使完成总任务时两组所需时间之和最少?
记 S n 是公差不为0的等差数列 a n 的前n项和,若 a 3 = S 5 , a 2 a 4 = S 4 .
(1)求数列 a n 的通项公式 a n ;
(2)求使 S n > a n 成立的n的最小值.
已知函数 f x = x 1 - ln x .
(1)讨论 f x 的单调性;
(2)设 a , b 为两个不相等的正数,且 b ln a - a ln b = a - b ,证明: 2 < 1 a + 1 b < e .
在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F 1 - 17 , 0 、 F 2 17 , 0 M F 1 - M F 2 = 2 ,点 M 的轨迹为 C .
(1)求 C 的方程;
(2)设点 T 在直线 x = 1 2 上,过 T 的两条直线分别交 C 于 A 、 B 两点和 P , Q 两点,且 TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ ,求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.
如图,在三棱锥 A - BCD 中,平面 ABD ⊥ 平面 BCD , AB = AD , O 为 BD 的中点.
(1)证明: OA ⊥ CD ;
(2)若 △ OCD 是边长为1的等边三角形,点 E 在棱 AD 上, DE = 2 EA ,且二面角 E - BC - D 的大小为 45 ° ,求三棱锥 A - BCD 的体积.
记 △ ABC 是内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知 b 2 = ac ,点 D 在边 AC 上, BD sin ∠ ABC = a sin C .
(1)证明:;
(2)若 AD = 2 DC ,求 cos ∠ ABC