已知函数.(1)求函数的极值;(2)证明:当时,;(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.
已知抛物线:的焦点为,过点作直线交抛物线于、两点;椭圆的中心在原点,焦点在轴上,点是它的一个顶点,且其离心率.(1)求椭圆的方程;(2)经过、两点分别作抛物线的切线、,切线与相交于点.证明:;(3)椭圆上是否存在一点,经过点作抛物线的两条切线、(、为切点),使得直线过点?若存在,求出抛物线与切线、所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.
设函数(,).(1)若函数在其定义域内是减函数,求的取值范围;(2)函数是否有最小值?若有最小值,指出其取得最小值时的值,并证明你的结论.
如图5,四边形是圆柱的轴截面,点在圆柱的底面圆周上,是的中点,圆柱的底面圆的半径,侧面积为,.(1)求证:;(2)求二面角的平面角的余弦值.
上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》,因其诞生于大芬村,因此被命名为《大芬丽莎》.某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师,测得画师年龄情况如下表所示.(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(图4),再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在岁的人数(结果取整数);(2)在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动,其中选取2名画师担任解说员工作,记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
已知,,设.(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间; (2)若分别是锐角的内角的对边,且,,试求的面积.