已知函数.(1)求函数的极值;(2)证明:当时,;(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.
(本小题满分14分)设函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间; (Ⅱ)已知,若函数的图象总在直线的下方,求的取值范围;(Ⅲ)记为函数的导函数.若,试问:在区间上是否存在 ()个正数…,使得成立?请证明你的结论.
(本小题满分12分)函数.(Ⅰ)若,且在处取得极小值,求实数的值;(Ⅱ)若函数在上是增函数,试探究应满足什么条件;(Ⅲ)若,不等式对任意恒成立,求整数的最大值.
(本小题满分12分)某分公司经销某种产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交纳6元的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9 ≤ x ≤ 11)时,一年的销售量为万件。(Ⅰ)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?
(本小题满分12分)已知是复平面内的三角形,两点对应的复数分别为和,且,(Ⅰ)求的顶点C的轨迹方程。(Ⅱ)若复数满足,探究复数对应的点的轨迹与顶点C的轨迹的位置关系。
(本小题满分10分)某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如下表所示
(Ⅰ)请画出上表数据的散点图;(Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于x的线性回归方程;(Ⅲ)据此估计2005年该城市人口总数。参考数值:0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132,,参考公式: 用最小二乘法求线性回归方程系数公式