已知等差数列满足：，，的前n项和为．（1）求及；（2）令bn

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（1）求及；
（2）令b_n=（nN^*），求数列的前n项和．

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设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = 3 S_{n}$ $- S_{n - 1} + 3 (n \in N^{+})$ ，
（Ⅰ）证明： $a_{n + 2} = 3 a_{n}$ ；
（Ⅱ）求 $S_{n}$ 。

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如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的正三角形， $E, F$ 分别是 $B C, C C_{1}$ 的中点。

（Ⅰ）证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；
（Ⅱ）若直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 所成的角为 $45 °$ ，求三棱锥 $F - A E C$ 的体积。

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设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = b \tan A$ .
（Ⅰ）证明： $\sin B = \cos A$ ；
（Ⅱ）若 $\sin C - \sin A \cos B = \frac{3}{4}$ , $B$ 为钝角，求 $A, B, C$ .

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某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球 $A_{1}, A_{2}$ 和1个白球 $B$ 的甲箱与装有2个红球 $a_{1}, a_{2}$ 和2个白球 $b_{1}, b_{2}$ 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

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已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = e^{x} \sin x (x \in [0, + \infty))$ ，记 $x_{n}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $n$ ( $n \in N_{+}$ )个极值点，证明：
（1）数列 $\{f (x_{n})\}$ 是等比数列
（2）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2} - 1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*}$ ， $x_{n} < |f (x_{n})|$ 恒成立.

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