已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；
（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。