如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线与x轴相交于B（﹣2，0）_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线与x轴相交于B（﹣2，0），C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁，若新抛物线y₁的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）在（2）的结论下，新抛物线y₁上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，⊙ O 的半径为 1 ， A ， B 为⊙ O 外两点， $A B = 1$ ．给出如下定义：平移线段 AB ，得到⊙ O 的弦 $A^{'} B^{'}$ （ $A^{'}, B^{'}$ 分别为点 A ， B 的对应点），线段 $A A^{'}$ 长度的最小值称为线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"．

（ 1 ）如图，平移线段 AB 到⊙ O 的长度为 1 的弦 $P_{1} P_{2}$ 和 $P_{3} P_{4}$ ，则这两条弦的位置关系是；在点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ 中，连接点 A 与点的线段的长度等于线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"；

（ 2 ）若点 A ， B 都在直线 $y = \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$ 上，记线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"为 $d_{1}$ ，求 $d_{1}$ 的最小值；

（ 3 ）若点 A 的坐标为 $(2, \frac{3}{2})$ ，记线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"为 $d_{2}$ ，直接写出 $d_{2}$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC > BC$ ， $D$ 是 $AB$ 的中点． $E$ 为直线 $AC$ 上一动点，连接 $DE$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ DE$ ，交直线 $BC$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ．

（ 1 ）如图 1 ，当 $E$ 是线段 $AC$ 的中点时，设 $AE = a$ ， $BF = b$ ，求 $EF$ 的长（用含 $a, b$ 的式子表示）；

（ 2 ）当点 $E$ 在线段 $CA$ 的延长线上时，依题意补全图 2 ，用等式表示线段 $AE$ ， $EF$ ， $BF$ 之间的数量关系，并证明．

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 为抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a > 0)$ 上任意两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ．

（1）若抛物线的对称轴为 $x = 1$ ，当 $x_{1}, x_{2}$ 为何值时， $y_{1} = y_{2} = c;$

（2）设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．若对于 $x_{1} + x_{2} > 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $t$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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小云统计了自己所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：

$a$ ．小云所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量统计图：

$b$ ．小云所住小区 5 月 1 日至 30 日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

（ 1 ）该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数）

（ 2 ）已知该小区 4 月的厨余垃圾分出量的平均数为 $60$ ，则该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 4 月的倍（结果保留小数点后一位）；

（ 3 ）记该小区 5 月 1 日至 10 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{1}^{2},$ 5 月 11 日至 20 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{2}^{2}$ ， 5 月 21 日至 30 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{3}^{2}$ ．直接写出 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}, s_{3}^{2}$ 的大小关系．

题型：未知
难度：未知

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小云在学习过程中遇到一个函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)$ ．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（ 1 ）当 $- 2 \leq x < 0$ 时，对于函数 $y_{1} = | x |$ ，即 $y_{1} = - x$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而，且 $y_{1} > 0$ ；对于函数 $y_{2} = x^{2} - x + 1$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y_{2}$ 随 $x$ 的增大而，且 $y_{2} > 0$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $- 2 \leq x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而．

（ 2 ）当 $x \geq 0$ 时，对于函数 $y$ ，当 $x \geq 0$ 时， $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

综合上表，进一步探究发现，当 $x \geq 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．在平面直角坐标系 $xOy$ 中，画出当 $x \geq 0$ 时的函数 $y$ 的图象．

（ 3 ）过点 $(0 ， m)$ （ $m > 0$ ）作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合（ 1 ）（ 2 ）的分析，解决问题：若直线 $l$ 与函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)$ 的图象有两个交点，则 $m$ 的最大值是．

题型：未知
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二次函数在给定区间上的最值

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