如图，抛物线
交
轴于点
，交
轴于点
，已知经过点
的直线的表达式为
．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点
的坐标；
（2）如图①，点
是线段
上的一个动点，其中
，作直线
轴，交直线
于
，交抛物线于
，作
∥轴，交直线于点
，四边形
为矩形．设矩形的周长为
，写出与
的函数关系式，并求为何值时周长最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点
，使点
构成的三角形是以
为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
图① 图②
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与
轴交于
、
两点（点
在点
的左侧），与
轴交于点
，对称轴与
轴交于点
，点
在抛物线上．
（1）求直线的解析式；
（2）点为直线
下方抛物线上的一点，连接
，
．当
的面积最大时，连接
，
，点
是线段
的中点，点
是
上的一点，点
是
上的一点，求
的最小值；
（3）点是线段
的中点，将抛物线
沿
轴正方向平移得到新抛物线
，
经过点
，
的顶点为点
．在新抛物线
的对称轴上，是否存在点
，使得
为等腰三角形？若存在，直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
对任意一个三位数，如果
满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为
．例如
，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为
，
，所以
．
（1）计算：，
；
（2）若，
都是“相异数”，其中
，
，
，
，
都是正整数），规定：
，当
时，求
的最大值．
某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了
，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元
千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了
，但销售均价比去年减少了
，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求
的值．
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