如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点C、F，连接CF并延长交AB于点E．

(Ⅰ)求证：E是AB的中点。
(Ⅱ)求线段BF的长．

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已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + x + (a - 1) \ln x + 15 a$ 其中 $a < 0$ ,且 $a \neq - 1$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设函数 $g (x) = \{\begin{cases} (- 2 x^{5} + 3 a x^{3} + 6 a x - 4 a^{2} - 15 a) e^{x}, x \leq 1 \\ e f (x), x > 1 \end{cases}$ （ $e$ 是自然数的底数）。是否存在 $a$ ，使 $g (x)$ 在 $[- a, a]$ 上为减函数？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。

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给出下面的数表序列，其中表 $n (n = 1, 2, 3, \dots)$ 有 $n$ 行，第1行的 $n$ 个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（1）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 $n (n \geq 3)$ （不要求证明）；

（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为 $\{b_{n}\}$ ，求和： $\frac{b_{3}}{b_{1} b_{2}} + \frac{b_{4}}{b_{2} b_{3}} + . . . + \frac{b_{n + 2}}{b_{n} b_{n + 1}} (n \in N^{*})$ .

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为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8 $k m$ 的 $A, B$ 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过 $A, B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $A B$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（如图）。考察范围到 $A, B$ 两点的距离之和不超过10 $k m$ 的区域.
（I）求考察区域边界曲线的方程：
（II）如图4所示，设线段 $P_{1} P_{2}$ 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 $k m$ ，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？

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如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，M是棱 $C C_{1}$ 的中点.

（Ⅰ）求异面直线 $A_{1} M$ 和 $C_{1} D_{1}$ 所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面 $A B M ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} M_{1}$

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为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校 $A, B, C$ 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）

（I）求 $x, y$ ;
（II）若从高校 $B, C$ 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校 $C$ 的概率。

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