已知圆C：，点，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知圆C：，点，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E。
（1）求E的方程；
（2）设P为直线x = 4上不同于点（4，0）的任意一点，D，F分别为曲线E与x轴的左，右两交点，若直线DP与曲线E相交于异于D的点N，证明ΔNPF为钝角三角形.

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在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以 $ξ$ 表示笼内还剩下的果蝇的只数.
（Ⅰ）写出 $ξ$ 的分布列（不要求写出计算过程）；
（Ⅱ）求数学期望 $E ξ$ ；
（Ⅲ）求概率 $P (ξ \geq E ξ)$ .

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难度：未知

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如图，曲线 $G$ 的方程为 $y^{2} = 2 x (y \geq 0)$ .以原点为圆心，以 $t (t > 0)$ 为半径的圆分别与曲线 $G$ 和 $y$ 轴的正半轴相交于点 $A$ 与点 $B$ .直线 $A B$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ .

（Ⅰ）求点 $A$ 的横坐标 $a$ 与点 $C$ 的横坐标 $c$ 的关系式；
（Ⅱ）设曲线 $G$ 上点 $D$ 的横坐标为 $a + 2$ ，求证：直线 $C D$ 的斜率为定值.

题型：未知
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设 $a \geq 0, f (x) = x - 1 - \ln^{2} x + 2 a \ln x (x > 0)$ .

（Ⅰ）令 $F (x) = x f^{`} (x)$ ,讨论 $F (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证:当 $x > 1$ 时,恒有 $x > \ln^{2} x - 2 a \ln x + 1$ .

题型：未知
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如图，在六面体 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是边长为1的正方形， $D D_{1} ⊥ 平面 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $D D_{1} ⊥ 平面 A B C D$ ， $D D_{1} ＝ 2$ .

（Ⅰ）求证： $A_{1} C_{1} 与 A C$ 共面， $B_{1} D_{1} 与 B D$ 共面；
（Ⅱ）求证： $平面 A_{1} A C C_{1} ⊥ 平面 B_{1} B D D_{1}$ ；
（Ⅲ）求二面角 $A － B B_{1} － C$ 的大小（用反三角函数值表示）.

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已知0＜a＜的最小正周期， $向量 a = （ \tan （ α + β / 4 ）， - 1), 向量 b = （ \cos α ， 2 ），且向量 a \times 向量 b = m ，$ 求 $\frac{2 \cos^{2} α + \sin 2 (α + β)}{\cos α - \sin α}$ .

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