设函数的图象的一条对称轴是直线.求；求函数的单调增区间；画出

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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设函数的图象的一条对称轴是直线.
求；
求函数的单调增区间；
画出函数在区间上的图象.

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设函数 $f (x) = {（ x - 1 ）}^{3} - ax - b, x \in R$ ，其中 $a, b \in R$ 。

（1）求 $f (x)$ 的单调区间；

（2）若 $f (x)$ 存在极点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{0})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证： $x_{1} + 2_{x 0} = 3$ ；

（3）设 $a ＞ 0$ ,函数 $g (x) = ∣ f (x) ∣$ ,求证： $g (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$ .

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} 1 （ a ＞ \sqrt{3} ）$ 的右焦点为F，右顶点为A，已知 $\frac{1}{| OF |} + \frac{1}{| OA |} = \frac{3 e}{| FA |}$ ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在 $x$ 轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若 $BF ⊥ HF$ ，且 $∠ MOA = ∠ MAO$ ，求直线 $l$ 的斜率．

题型：未知
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已知 ${a_{n}}$ 是各项均为整数得等差数列，公差为d，对任意的 $n \in N^{*}$ ， $b_{n}$ 是 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 得等比中项。

（1）设 $c_{n} = {b_{n + 1}}^{2} - {b_{n}}^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，求证：数列 ${c_{n}}$ 是等差数列；

（2）设 $a_{1} = d$ ， $T_{n} = \sum_{k = 1}^{2 n} {(- 1)}^{k} {b_{k}}^{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，求证： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{T i} < \frac{1}{{2 d}^{2}}$

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如图，正方形 $ABCD$ 的中心为 $O$ ，四边形 $OBEF$ 为矩形，平面 $OBEF ⊥$ 平面 $ABCD$ ，点 $G$ 为 $A B$ 的中点， $AB = BE = 2 .$

（1）求证： $EG ∥$ 平面 $ADF$ ；

（2）求二面角 $O - EF - C$ 的正弦值；

（3）设 H为线段 $AF$ 上的点，且 $AH = \frac{2}{3} HF$ ，求直线 $BH$ 和平面 $CEF$ 所成角的正弦值.

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某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设 $X$ 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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